Geometria Espacial

Geometria Espacial

 Elementos de Geometria espacial

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Conceitos gerais

Um plano é um subconjunto do espaço R³ de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R³ pode ser determinado por qualquer uma das situações:

• Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);
• Um ponto e uma reta que não contem o ponto;
• Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;
• Duas retas paralelas que não se sobrepõe;
• Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;
• Duas retas concorrentes;
• Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R³ podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R³, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Uma reta r é paralela a um plano no espaço R³, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.
Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Planos concorrentes no espaço R³ são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R³ são planos que não tem interseção.

Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus). 

Sólidos geométricos:

	Este sólido geométrico chama-se  cubo.  É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados. Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
	Chamamos paralelepípedo a este prisma.  Todas as suas faces têm a forma de rectângulos. Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
	Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos. Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.
	O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados. Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.
	Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos. Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.
	Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo. Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.
	Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base. Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.
	A base da pirâmide pentagonal é um pentágono. Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.
	A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva. A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.
	Este sólido geométrico chama-se cilindro. Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências
	O cone está limitado por uma superfície curva. Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice.

 

Podemos associar objectos a sólidos geométricos: 

	Cone	Cilindro	Esfera

 Unidades de medida de área e de volume;

Explicar aos alunos que para calcular áreas e volumes, os valores dados têm que estar sempre na mesma unidade de medida e que quando tal não acontece temos de efectuar a redução à mesma unidade. Relembrar, como tal se efectua, recorrendo ao seguinte esquema:

Unidades de Área:

Unidades agrárias:

 

Unidades de Volume:
   

Unidades de Capacidade:

Lembrar aos alunos que quando se calcula a área de uma figura geométrica a sua unidade de medida aparece sempre ao quadrado  (por exemplo, em metros quadrados).

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Áreas de Sólidos;

Começar por explicar aos alunos as fórmulas das figuras planas (quadrado, rectângulo, paralelogramo , triângulo e circunferência), recorrendo ao formulário que se apresenta a seguir:


Figuras Planas:

Para explicar aos alunos o cálculo de áreas de figuras geométricas podemos pedir que visualizem as seguintes figuras:


 

a) Explicar aos alunos que as  figuras representam as planificações de uma prisma e de um cilindro;

b) Apontar que nas figuras geométricas que são constituídas por duas figuras planas, para calcular a sua área, tem que se calcular a área lateral e a área da base, para isso podemos pedir aos alunos para identificarem  quais são as figuras planas que representam a área da base e a área lateral das figuras.

c) Explicar que a área lateral do prisma e do cilindro é dada por ;

d) Explicar que a área total vai ser a soma da área lateral mais duas vezes a área da base e explicar porque razão somamos duas vezes a área da base;

Dar aos alunos o formulário seguinte, das figuras geométricas que se calculam da mesma forma que as acima apresentadas :

Figuras Geométricas:

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Volumes de Sólidos;

Para explicar aos alunos o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem as seguintes figuras:

a) Explicar aos alunos que a  figura representa a planificação de um prisma recto;

b) Explicar que o volume de um prisma recto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é

c) Referir que o cubo e o paralelepípedo rectângulo são prismas;

d) Finalmente explicar que o volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma recto.

Dar aos alunos o formulário seguinte, das figuras geométricas que se calculam da mesma forma que as acima apresentadas:

Figuras Geométricas:

Posto isto, a noção de áreas e volumes, será mais facilmente introduzida.