Binômio de Newton

Introdução

    Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

    Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)⁴ = (a + b)³ (a+b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) (a+b)

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

    De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .
    Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
    Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais

    Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

    O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:

      É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

   Exemplos:

  De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:

    Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui     n + 1 termos.

Fórmula do termo geral do binômio

   Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a + b)ⁿ,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma .

• Quando p = 0 temos o 1º termo:
• Quando p = 1 temos o 2º termo:
• Quando p = 2 temos o 3º termo:
• Quando p = 3 temos o 4º termo:
• Quando p = 4 temos o 5º termo:
  ..............................................................................

   Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:

 

Assim, podemos exemplificar: