quarta-feira, 31 de agosto de 2011

Geometria Espacial

Elementos de Geometria espacial

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Conceitos gerais

Um plano é um subconjunto do espaço R³ de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R³ pode ser determinado por qualquer uma das situações:

Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);
Um ponto e uma reta que não contem o ponto;
Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;
Duas retas paralelas que não se sobrepõe;
Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;
Duas retas concorrentes;
Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R³ podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R³, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Uma reta r é paralela a um plano no espaço R³, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.
Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Planos concorrentes no espaço R³ são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R³ são planos que não tem interseção.

Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

Sólidos geométricos:

	Este sólido geométrico chama-se cubo. É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados. Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
	Chamamos paralelepípedo a este prisma. Todas as suas faces têm a forma de rectângulos. Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
	Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos. Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.
	O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados. Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.
	Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos. Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.
	Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo. Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.
	Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base. Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.
	A base da pirâmide pentagonal é um pentágono. Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.
	A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva. A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.
	Este sólido geométrico chama-se cilindro. Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências
	O cone está limitado por uma superfície curva. Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice.

Podemos associar objectos a sólidos geométricos:


Cone	Cilindro	Esfera

Unidades de medida de área e de volume;

Explicar aos alunos que para calcular áreas e volumes, os valores dados têm que estar sempre na mesma unidade de medida e que quando tal não acontece temos de efectuar a redução à mesma unidade. Relembrar, como tal se efectua, recorrendo ao seguinte esquema:

Unidades de Área:

Unidades agrárias:

Unidades de Volume:

Unidades de Capacidade:

Lembrar aos alunos que quando se calcula a área de uma figura geométrica a sua unidade de medida aparece sempre ao quadrado (por exemplo, em metros quadrados).

Áreas de Sólidos;

Começar por explicar aos alunos as fórmulas das figuras planas (quadrado, rectângulo, paralelogramo , triângulo e circunferência), recorrendo ao formulário que se apresenta a seguir:

Figuras Planas:

Para explicar aos alunos o cálculo de áreas de figuras geométricas podemos pedir que visualizem as seguintes figuras:

a) Explicar aos alunos que as figuras representam as planificações de uma prisma e de um cilindro;

b) Apontar que nas figuras geométricas que são constituídas por duas figuras planas, para calcular a sua área, tem que se calcular a área lateral e a área da base, para isso podemos pedir aos alunos para identificarem quais são as figuras planas que representam a área da base e a área lateral das figuras.

c) Explicar que a área lateral do prisma e do cilindro é dada por ;

d) Explicar que a área total vai ser a soma da área lateral mais duas vezes a área da base e explicar porque razão somamos duas vezes a área da base;

Dar aos alunos o formulário seguinte, das figuras geométricas que se calculam da mesma forma que as acima apresentadas :

Figuras Geométricas:

Volumes de Sólidos;

Para explicar aos alunos o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem as seguintes figuras:

a) Explicar aos alunos que a figura representa a planificação de um prisma recto;

b) Explicar que o volume de um prisma recto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é

c) Referir que o cubo e o paralelepípedo rectângulo são prismas;

d) Finalmente explicar que o volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma recto.

Dar aos alunos o formulário seguinte, das figuras geométricas que se calculam da mesma forma que as acima apresentadas:

Figuras Geométricas:

Posto isto, a noção de áreas e volumes, será mais facilmente introduzida.

Geometria Plana

GEOMETRIA PLANA

A Geometria Plana está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.

Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".

Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.

GEOMETRIA PLANA

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

POLÍGONO

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.

TRIÂNGULOS

Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Quanto aos lados:

Equilátero - todos os lados iguais
Isósceles - dois lados iguais
Escaleno - todos os lados diferentes

Quanto aos ângulos:

Acutângulo - Um ângulo agudo
Obtusângulo - Um ângulo obtuso
Retângulo - Um ângulo reto

Algumas propriedades:

- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.   - Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo

Os triângulos podem ser classificados em diversos tipos de acordo com seus lados(Eqüiláteros - Possuem três lados de mesmo comprimento, Isósceles - possuem dois lados de mesmo comprimento e Escalenos - possuem três lados de comprimentos diferentes) ou quanto a seus ângulos(Retângulos - possuem um ângulo de 90° graus, também chamado ângulo reto, Obtusângulos - possuem um ângulo obtuso, ou seja, um ângulo com mais de 90°, Acutângulos - possuem três ângulos agudos, ou seja, menores do que 90°). Polígonos são definidos como a figura formada po um número n maior ou igual a 3 de pontos ordenados de forma que três pontos consecutivos sejam não colineares.

Um exemplo de polígono de 3 lados é um triângulo. Os polígonos possuem denominações particulares para enes diferentes:n=3 - triângulo, n=4 - quadrilátero, n=10 - decágono, n=20 - icoságono). Estas denominações são derivadas dos nomes dos números em grego. Outra forma importante da geometria plana é a circunferência definida como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva. Chamamos de círculo ao conjunto de uma circunferência e seus pontos internos. Existem também certos casos especiais para quadriláteros como definiremos a seguir: é dado o nome de trapézio a um quadrilátero que possui dois lados paralelos.

Para o caso dos lados não paralelos serem congruentes dá-se a este trapézio o nome de trapézio isósceles, para o caso de lados não paralelos não congruentes é dado o nome de trapézio escaleno, e um trapézio que possui um lado perpendicular as bases é chamado trapézio retângulo. Paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Retângulo possui quatro ângulos congruentes entre si. O losango possui quatro lados congruentes entre si, e finalmente o quadrado que possui 4 lados e quatro ângulos congruentes entre si.

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

Polígono	No. de lados	Polígono	No. de lados
Triângulo	3	Quadrilátero	4
Pentágono	5	Hexágono	6
Heptágono	7	Octógono	8
Eneágono	9	Decágono	10
Undecágono	11	Dodecágono	12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".

Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.

Análise Combinatória

1 - Introdução

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

2 - Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!

3 - Princípio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k₁ maneiras diferentes, a segunda de k₂ maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k₁. k₂ . k₃ . ... . k_n

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução :

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?

4 - Permutações simples

4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo : com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é
P_n= n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a) P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

5 - Permutações com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Solução:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151200 anagramas.

6 - Arranjos simples

6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por A_n,k , teremos a seguinte fórmula:

Obs : é fácil perceber que A_n,n = n! = P_{n .}(Verifique)

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

Solução:

As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:
10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A_10,3

7 - Combinações simples

7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.

7.2 - Representando por C_n,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Solução:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C_15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:

01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120

02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84

03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48

Exercício resolvido:

Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.